Fungsi Trigonometri - Pengertian, Rumus & Contoh Soal Lengkap
kelassore.id (Fungsi Trigonometri – Pengertian, Rumus & Contoh Soal Lengkap) – Belajar matematika memang susah-susah gampang, kadang penjelasan guru di kelas juga susah untuk dipahami, belum lagi apabila kelas sedang tidak kondusif. Padahal mata pelajaran matematika penting banget apalagi jika kamu ingin nanti kuliah di jurusan yang berorientasi dari jurusan-jurusan IPA. Pada kesempatan kali ini kita akan belajar mengenai fungsi yang sering dipakai dalam Matematika ini, mulai dari pengertian, rumus hingga contoh soalnya, agar kamu bisa belajar mandiri di rumah. Yuk simak sampai akhir.
Pengertian Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi matematika yang berkaitan dengan sudut dan sifat-sifat dari segitiga dalam trigonometri. Fungsi ini sangat penting dalam matematika, fisika, teknik, dan berbagai bidang ilmu lainnya karena mereka membantu kita memahami hubungan antara sudut dan panjang sisi-sisi dalam segitiga.
Fungsi ini digunakan untuk memecahkan berbagai macam masalah dalam konteks segitiga, seperti mengukur jarak, menghitung sudut, dan menganalisis pergerakan benda dalam bidang. Mereka juga digunakan dalam memodelkan osilasi, gelombang, dan fenomena periodik lainnya. Trigonometri fungsi ini memiliki banyak aplikasi dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa serta berperan penting dalam pemahaman dan pemodelan berbagai fenomena alam.
3 Fungsi Umum Trigonometri Dasar:
Fungsi Sinus (sin): Sinus dari suatu sudut dalam sebuah segitiga adalah perbandingan panjang sisi terhadap panjang sisi miring (hipotenusa) segitiga tersebut. Dalam notasi matematika, jika θ adalah sudut dalam segitiga, maka sin(θ) = panjang sisi berlawanan/panjang hipotenusa.
Fungsi Kosinus (cos): Kosinus dari suatu sudut dalam sebuah segitiga adalah perbandingan panjang sisi sejajar terhadap panjang sisi miring (hipotenusa) segitiga tersebut. Dalam notasi matematika, jika θ adalah sudut dalam segitiga, maka cos(θ) = panjang sisi sejajar/panjang hipotenusa.
Fungsi Tangen (tan): Tangen dari suatu sudut dalam sebuah segitiga adalah perbandingan panjang sisi berlawanan terhadap panjang sisi sejajar dalam segitiga tersebut. Dalam notasi matematika, jika θ adalah sudut dalam segitiga, maka tan(θ) = panjang sisi berlawanan/panjang sisi sejajar.
Unsur-unsur Grafik Trigonometri
Grafik fungsi trigonometri memiliki unsur-unsur khas yang membantu kita memahami pola dan sifat-sifat dari fungsi-fungsi ini. Berikut adalah unsur-unsur utama dalam grafik fungsi:
Grafik Berbentuk Gelombang
Grafik fungsi trigonometri, seperti sinus (sin) dan kosinus (cos), memiliki bentuk yang mirip dengan gelombang. Mereka berayun bolak-balik antara nilai maksimum dan minimumnya dalam interval tertentu. Grafik ini berulang secara periodik.
Amplitudo (Amplitude)
Amplitudo adalah tinggi maksimum atau jarak vertikal antara nilai puncak (maksimum) dan nilai lembah (minimum) dalam grafik. Dalam fungsi sin dan cos, amplitudo adalah setengah dari jarak vertikal total antara maksimum dan minimum.
Periode (Period)
Periode adalah panjang interval di mana grafik satu kali berulang atau kembali ke posisi awal. Untuk fungsi sin dan cos, periode adalah 360 derajat atau 2π dalam radian.
Frekuensi (Frequency)
Frekuensi adalah kebalikan dari periode dan mengukur seberapa sering grafik fungsi berulang dalam satu satuan panjang. Frekuensi adalah jumlah siklus per unit panjang (misalnya, siklus per satuan derajat atau radian).
Fase (Phase Shift)
Fase adalah pergeseran horizontal atau pergeseran grafik ke kiri atau kanan. Fase dapat menyebabkan grafik fungsi trigonometri untuk mulai pada sudut tertentu daripada pada sudut nol.
Nilai Maksimum
Nilai maksimum merupakan nilai tertinggi yang dapat dicapai oleh suatu fungsi trigonometri. Penerapan dalam grafik merupakan titik tertinggi (puncak).
Nilai Minimum
Kebalikan dari nilai maksimum, nilai minimum merupakan nilai terendah yang dapat di capai oleh suatu fungsi trigonometri. Penerapan pada grafik, nilai minimum merupakan titik terendah dari.
Titik-titik Penting
Titik-titik penting dalam grafik fungsi trigonometri adalah nilai maksimum, minimum, dan titik potong sumbu x (akar). Nilai-nilai ini membantu kita mengidentifikasi karakteristik penting dari fungsi tersebut.
Asimtot (Asymptotes)
Grafik fungsi trigonometri memiliki garis-garis asimtot. Misalnya, tangen (tan) memiliki asimtot vertikal di mana grafik tidak dapat melewati.
Label dan Skala
Pada grafik fungsi trigonometri, label sumbu x dan y serta skala pada sumbu tersebut membantu kita mengukur nilai-nilai dalam grafik dengan tepat.
Rumus Fungsi Trigonometri
Fungsi ini dapat dijelaskan dengan menggunakan grafik baku dari tiga fungsi utama: fungsi sinus (sin), fungsi cosinus (cos), dan fungsi tangen (tan). Mari kita jelaskan masing-masing dari mereka menggunakan grafik baku:
Fungsi Sinus (sin):
Sinus (= sin x)
- Grafik sinus adalah grafik berbentuk gelombang yang berayun bolak-balik antara nilai maksimum dan minimum.
- Periode dari fungsi sinus adalah 360 derajat atau 2π dalam radian.
- Nilai maksimum dari sin adalah +1, dan nilai minimumnya adalah -1 amplitudo 1.
- Grafik sin dimulai dari nilai maksimum di 0°, melanjutkan turun menuju nilai minimum pada 90°, naik kembali ke nilai maksimum pada 180°, turun lagi menuju nilai minimum pada 270°, dan kemudian kembali ke nilai maksimum pada 360° (0°).
Fungsi Cosinus (cos):
Cosinus (y = cos x)
- Grafik cosinus juga adalah grafik berbentuk gelombang yang mirip dengan grafik sin, tetapi dimulai dari nilai maksimum pada 0°.
- Periode dari fungsi cosinus juga adalah 360 derajat atau 2π dalam radian.
- Nilai maksimum dari cos adalah +1, dan nilai minimumnya adalah -1, amplitudo 1.
- Grafik cos dimulai dari nilai maksimum pada 0°, turun menuju nilai minimum pada 90°, naik kembali ke nilai maksimum pada 180°, turun lagi menuju nilai minimum pada 270°, dan kemudian kembali ke nilai maksimum pada 360° (0°).
Fungsi Tangen (tan):
(y = tan x)
- Grafik tangen memiliki karakteristik yang berbeda dari sin dan cos. Grafik ini memiliki asimtot vertikal di mana grafik tidak terdefinisi (nilai tak hingga) saat sudut mendekati kelipatan ganjil dari 90 derajat (misalnya, 90°, 270°, dst.).
- Periode dari fungsi tangen adalah 180 derajat atau π dalam radian.
- Nilai tan(0°) adalah 0, dan grafik ini memiliki titik-titik singgung pada sudut-sudut kelipatan genap dari 90 derajat (misalnya, 0°, 180°).
- Nilai maksimum tidak ada, nilai minimum tidak ada, amplitudo tidak ada.
Contoh Soal Fungsi Trigonometri
Soal:
Diberikan fungsi f(x) = 3 sin(x) + 2 cos(x), di mana x adalah sudut dalam radian dalam interval [0, 2π]. Temukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi ini di interval tersebut.
Jawaban:
Untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x), kita perlu mencari nilai kritis dan kemudian mengevaluasi f(x) pada titik-titik ini.
Cari nilai kritis?
Kita dapat mencari nilai kritis dengan mengambil turunan pertama dari fungsi f(x) terhadap x dan menyelesaikan persamaan untuk nilai x yang membuat turunan tersebut sama dengan nol.
f(x) = 3 sin(x) + 2 cos(x)
f'(x) = 3 cos(x) – 2 sin(x)
Sekarang, kita cari nilai x yang membuat f'(x) = 0:
3 cos(x) – 2 sin(x) = 0
3 cos(x) = 2 sin(x)
Sin(x)/Cos(x) = 2/3
Tan(x) = 2/3
Kita cari solusi dari persamaan ini dalam interval [0, 2π]. Solusi pertama adalah x = arctan(2/3) dan solusi kedua adalah x = arctan(2/3) + π.
Evaluasi f(x) pada nilai kritis dan batas interval?
Kita sekarang akan mengevaluasi f(x) pada nilai-nilai kritis yang telah kita temukan, yaitu x = arctan(2/3) dan x = arctan(2/3) + π, serta pada batas interval [0, 2π].
- f(0) = 3 sin(0) + 2 cos(0) = 0 + 2 = 2
- f(2π) = 3 sin(2π) + 2 cos(2π) = 0 + 2 = 2
- f(arctan(2/3)) ≈ 3(0.588) + 2(0.809) ≈ 2.364
- f(arctan(2/3) + π) ≈ 3(2.553) + 2(-0.836) ≈ 6.345 – 1.672 ≈ 4.673
Temukan nilai maksimum dan minimum?
Dari hasil di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai maksimum dari fungsi f(x) adalah sekitar 4.673 dan nilai minimumnya adalah sekitar 2.
Jadi, nilai maksimum dari f(x) adalah sekitar 4.673 dan nilai minimumnya adalah sekitar 2 dalam interval [0, 2π].
Butuh tutor yang bisa menjelaskan dengan lebih sederhana untuk materi matematika (termasuk fungsi trigonometri), bahasa Inggris dan mata pelajaran sekolah lainnya? Gabung ke kelassore.id yuk! Nilai rapor-mu dijamin meningkat drastis, belajar ditemani tutor kece berpengalaman dan profesional!
SEO Content Writer